拿起算法的钢笔: 找出两个有序数组的中位数_邓轻舟的专栏文章_微信文章

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2

题目：请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]

nums2 = [2]

则中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]

nums2 = [3, 4]

则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

分析：

常规做法，是 O(m+n)

两个有序数组，合并成一个有序数组，取中位数，思路很清晰

这里只要取中位数，只要保证，这个数字左边的元素个数（数组一左边 i 个+数组二左边 j 个）与右边的元素个数相等，这个数字左边的元素都小于右边的元素，

就可以认为，这个数字是我们想要的

先分片, 保证找到的中位数，这个数字左边的元素个数（数组一左边 i 个+数组二左边 j 个）与右边的元素个数相等

因为是中间位置的数字，如果第一个数组 nums1 取 i 个，（ 0 <= i <= m ）, 那么第二个数组 nums2 里面取 j 个, （ 0 <= j <= n ）,

i 与 j 满足一定的关系 i + j = ( m + n )/2 , 或者 i + j = ( m + n + 1)/2 , 因为 m + n 可能是奇数，也可能是偶数。那么 j = ( m + n + 1 ) / 2 - i

再取值，这个数字左边的元素都小于右边的元素

i 和 j 把两个数组，各分成两片，出现了四个关键的数字，

数组一左边最大，num1LeftMax

数组一右边最小，num1RightMin

数组二左边最大，num2LeftMax

数组二右边最小，num2RightMin

如果 num1LeftMax <= num2RightMin, num2LeftMax <= num1RightMin, 就找到我们想要的中位数了，因为 num1 是有序数组，num1LeftMax 当然小于 num1RightMin，同样的 num2LeftMax < num2RightMin

O(m), 因为这就是二分搜索，搜索条件不是很直接

为什么是 O(m), 因为这就是二分搜索。

一般我们的二分搜索是一个有序数组，查找元素，每一次查找，把搜索范围缩减一半。通过移动上边界和下边界

就是比较条件相对简单，直接比元素大小

这道题其他与基础的二分查找一致，比较条件有些变化

如果 num1LeftMax > num2RightMin, 数字一左边的大了，就是 i 大了，就要移动右边界，就是右边界变小

（左边界只能右移，只能变大。右边界只能左移，只能变小）

其他情况，类似处理

拿起算法的钢笔，跑一遍

示例 3:

nums1 = [ 1, 3，8，9，15 ]

nums2 = [ 7， 11， 18， 19， 21，25 ]

中位数是 11

左边有 5 个元素， m = 5,

右边有 6 个， n = 6

数组一右边最小，num1RightMin < 数组二左边最大，num2LeftMax 就是 i 小了，左边界右移， low = 3

现在满足要求了，m + n 是奇数，左边多一个，选数组一左边最大和数组二左边最大中较大的，就是 11

拿起算法的钢笔，再跑一遍，为了印象深刻

示例 4:

nums1 = [ 23, 26，31，35 ]

nums2 = [ 3， 5， 7， 9， 11，16 ]

中位数是 13.5， 11 和 16 的平均值

左边有 4 个元素， m = 4,

右边有 6 个， n = 6

数组一左边最大，num1LeftMax > 数组二右边最小，num2RightMin 就是 i 大了，右边界左移, high = 1

左边一个元素都不要，默认数组一左边最大为负无穷，num1LeftMax = Number.MIN_SAFE_INTEGER,

现在满足要求了，m + n 是偶数，找出中间两个 11 与 16，求平均值为 13.5

PS: 个人看，看书和看算法动画，不错，就是少了一点参与感。拿起钢笔，写写画画，需要保证结果一致嘛，我感觉，理解的好一些

代码如下：

选短的数组处理，处理快，还保证了 j 一定大于 0 （因为 n > m），避免了一些逻辑处理。

里面处理了一些边界条件， i = 0, 第一个数组左边一个元素都不要，i = m, 第一个数组右边一个元素都不要

m + n 的值是奇数，这个好处理一点，只需要找出一个元素

m + n 的值是偶数，需要找出两个元素

var findMedianSortedArrays = function (nums1, nums2) {
    if (nums1.length > nums2.length) {
        [nums1, nums2] = [nums2, nums1]
    }
    const arr1Length = nums1.length, arr2Length = nums2.length;
    let low = 0, high = arr1Length;
    const halfLen = Math.floor((arr1Length + arr2Length + 1) / 2);

    while (low <= high) {
        let i = Math.floor((low + high) / 2); 
        let j = halfLen - i;
        let num1LeftMax = i == 0 ? Number.MIN_SAFE_INTEGER : nums1[i - 1]
        let num1RightMin = i == arr1Length ? Number.MAX_SAFE_INTEGER : nums1[i]
        let num2LeftMax = j == 0 ? Number.MIN_SAFE_INTEGER : nums2[j - 1]
        let num2RightMin = j == arr2Length ? Number.MAX_SAFE_INTEGER : nums2[j]
        if (num1LeftMax <= num2RightMin && num2LeftMax <= num1RightMin) {
            var answer = 0
            if (Math.round((arr1Length + arr2Length) % 2) == 1) {
                answer = Math.max(num1LeftMax, num2LeftMax)
            }
            else {
                // Math.round((arr1Length + arr2Length) % 2) == 0
                let leftMax = Math.max(num1LeftMax, num2LeftMax)
                let rightMin = Math.min(num1RightMin, num2RightMin)
                answer = (leftMax + rightMin) / 2
            }
            return answer
        }
        else if (num1LeftMax > num2RightMin) {
            high = i - 1
        }
        else { // num2LeftMax > num1RightMin
            low = i + 1
        }
    }
    return 0;
};

复制代码

我还喜欢看视频，有一个 youtube ,链接是 www.youtube.com/watch?v=LPF… .

本文可以作为该视频和 Leatcode 官方题解的补充，官方题解: leetcode.com/problems/me…

拿起算法的钢笔: 找出两个有序数组的中位数