由曲率决定形状：Minkowski问题的解

近期来，最优传输理论在深度学习领域得到越来越多的关注。人们普遍认为深度学习的目的是学习嵌入在高维背景空间中的低维数据流形上的概率分布，因此主要任务分为流形结构学习和概率分布学习。而概率分布学习归结为在所有可能的分布构成的空间中进行优化，其变分法基于最优传输理论。生成模型中的模式坍塌可以用最优传输映射的正则性来解释。由Brenier定理，以欧氏距离平方为代价的最优传输映射由凸函数（Brenier 势能）的梯度映射给出，而Brenier势能函数满足经典的Monge-Ampere方程。而Monge-Ampere方程在微分几何中与经典的Minkowski-Alexandrov理论紧密联系。在微分几何中，曲面的全系不变量是第一基本形式（黎曼度量）和第二基本形式，曲面的高斯曲率由度量来决定。对于凸曲面而言，仅黎曼度量就可以决定曲面的形状。由高斯曲率 ………………………………