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[原创]琴弦上的数学危机

混乱博物馆  · 公众号  · 2018-11-02 23:59

这是名画《雅典学堂》的左下角。正在一本厚书上写字的老者,是古希腊著名的哲学家和数学家——毕达哥拉斯。

他面前还有一块黑板,记录了毕达哥拉斯关于琴弦音高的研究成果——“五度相生律”。

而这场始于琴弦的研究,却意外引发了“第一次数学危机”。


-文字稿-

毕达哥拉斯(Pythagoras,约前580年-前500年)是哲学史上第一个至关重要的人物,他大约生活在公元前580年到500年,是一个哲学家、数学家,以及音乐家。但是如果你因此认为他会谱曲或者演算等式,那就未免太天真了。

从古希腊的方言上看,他是一个爱奥尼亚口音的人,出生在萨摩斯岛,父亲可能是珠宝匠、商人或者不足为信的阿波罗。萨摩斯与米利都只隔着一道几公里宽狭窄的海峡,在商业上是竞争的关系,但青年时代的毕达哥拉斯并没有牵涉其中,反而投身于东方世界的游历中去,据说埃及人传授给他测地术,腓尼基人传授给他算术,迦勒底人传授给他天文,波斯的麦琪向他传授人生的箴言,他或许在某一次游历中拜访过米利都的泰勒斯,接触了“泰勒斯定理”(Thales' theorem),据说锡罗斯岛的菲瑞塞德斯[1]还向他讲授了轮回转世。

今天的我们当然没有毕达哥拉斯的肖像,他最著名的形象出现在拉斐尔那幅著名的《雅典学堂》里,毕达哥拉斯正带领众人钻研着什么,面前还有一块黑板。 

这块黑板分上下两半,下面的部分与本文的内容无关,不讨论它;上面的一半是用曲线和比例演示的“五度相生律”,一种乐理上确定音高的方法。

简单地说,琴弦的频率反比于琴弦的长度,当两个乐音的频率为简单整数比的时候,能给人带来和谐的感觉。最简单的是取频率相差2倍的两个乐音,但它给人的感觉太过和谐,缺乏变化。为了表达丰富的情感,人们还想获得更加精细的变化,找到其它比值简单的频率。

因此,毕达哥拉斯考虑了2:3和3:4这样的简单整数比,先取某个长度的琴弦当作C,然后缩短为2/3,升高纯五度,得到G;然后延长为4/3,降低纯四度,得D;再缩短为2/3,得到A;延长为4/3,得到E;再缩短为3/2,得到B;最后由C直接缩短为3/4,得到中间的F——当然,那个时代还没有这些音名。

但是比起五度相生律的具体做法,毕达哥拉斯这样做的动机可要有趣得多:我们总说他是个哲学家,其实他就是个教派头目,崇拜古希腊的酒神狄俄尼索斯——尼采挂在嘴边的那个酒神。他这个教派又改革自俄耳甫斯,就是那个琴技高超、从地狱里救回妻子、最后得意忘形一回头前功尽弃的俄耳甫斯。

所以,音乐就在毕达哥拉斯的宗教仪式上占据了重要的地位,而当时最重要的乐器就是里拉琴(Lyre)。这是一种相当简单的弦乐器,截取几根长度不同的绳子绷紧了就成,毕达哥拉斯就是因为这个才去钻研琴弦长度和音高的关系。

但是毕达哥拉斯还没有清晰的除法概念,甚至没有带刻度的尺子,他要求取两个绳长的比例需要一种相当麻烦的办法,称作“辗转相减”:

设两根绳子的长度,令,再比较c和,用大的减去小的,不断重复这一过程,最后如果得到两根等长的绳子,就是和的最大公约数。

讲道理,绳子的长度哪能比较得那么精确?所以毕达哥拉斯总能剪出长度相同的绳子,这给他带来一种坚定的神学信念:一切都能化成整数和整数的比例,这能带来和谐的美感,这种美感可以通神——结果就惹祸了。

毕达哥拉斯有个门徒名叫希帕索斯(Hippasus),他从正五边形里发现了一个辗转相减的反例:




求取BC和A1C的最大公约数,首先求两者之差,有:

所以下一步是求A1C和CE1的差,有:

那么再下一步是求CE1和A2E1的差,而CE1=B1E1,由于相似性,B1E1和A2E1的关系完全等同于BC与A1C的关系,所以如果在图中央继续嵌套更多更小的五角星,辗转相减将会无穷无尽,绝不会出现一个最大公约数——这对毕达哥拉斯的教义是个沉重的打击。希帕索斯不久之后就死于海难,很可能就是毕达哥拉斯教派的荣誉谋杀。

这个故事今天被称为“第一次数学危机”。我们现在知道,西帕索思发现的就是黄金分割这个无理数。然而古希腊的神学却为此憎恨上了“无限”这个概念,将算术和几何割裂成了两个不相关的学科,令西方算数的发展严重滞后于同时代的东方算术,直到文艺复兴才奋起追赶。

同时,这个故事也是无数个故事的起点,我们将在今后的节目里无数次地重新回到这里。



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