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史上最强方程,为求解42=33,超级计算机都顶不住了

超级数学建模  · 公众号  · 数学  · 2019-06-25 22:27

请不要

轻易尝试


数学家们的脑洞一向很大,偶尔灵光一闪提出的猜想,会在不经意间对整个数学界产生极大的影响。


比如前几天提到的,和超模君一样帅的费马,午后小酣的时候写下的“费马猜想”公式,给后世挖了350多年的坑。



再比如说只能依赖计算机庞大的数据优势取得证明的“四色猜想”,最初也只是由英国一位大学生在搞地图着色工作时想出的。



至今尚未得解的哥德巴赫猜想,乍一看只是“1+1=2”的问题,但咱们的陈景润老先生警示过:没有足够的沉淀,千万不要轻易去碰。


连陈景润老先生自己,究其一生也只是完成了证明工作的冰山一角,哥德巴赫猜想的证明难度可见一斑。





   丢番图方程   


K=x³+y³+z³问题是丢番图方程的一种形式,其中x,y,z和K均为整数。这个方程的起源可以追溯到古巴比伦时代,后来以古希腊数学家丢番图命名。


费马那句著名的“我想到了一个绝妙的证明,但是这页边空白太小了写不下”,最初就是写在这条方程旁边。(费马大定理传送门)


在这个“三次方之和”问题中,对于K的不同取值,丢番图方程可能无解,也可能存在无限多解。


例如,当K=29时,我们很容易想到 29 = 3³ + 1³ + 1³。


当然还有一些情况,例如对K=32时,方程没有整数解。


没有什么可以打倒坚持不懈的数学家们,在排除无解的数字之后,数学家们开始用穷举法计算方程的解,也就是简单粗暴地一个个尝试可能的选项。



但逐一尝试终究不是个好办法,自1955年以来,数学家们开始尝试借助计算机来解决这一问题。得出的一些方程的解数字非常庞大,比如K=26的情形是这样的:


26=(114,844,365)³ + (110,902,301)³ + (–142,254,840)³


到了1992年,91岁高龄的盖伊用计算机搜索后发现,对所有小于1000的数字,除了下面表中的数以外,其他小于1000的数都可以找到丢番图方程形式的表示。


标红的数字,截止2019年3月都还没有被解决


到2015年的时候,单论100以下的K值,还没有被解决的数字只剩下33、42和74了。数学家们已经对10的14次幂以下所有的数字进行了搜索,却一无所获。


2016年4月,法国数学家赫斯曼开始在10的15次幂的数字中进行搜索,解出了K=74对应的方程,代价是约十万个CPU小时的运算量。


到这个时候,100以内还未找到整数解的K值就只剩下33和42了。



   庞大的数字   


2015 年,YouTube 数学频道Numberphile发布了一个介绍丢番图方程的视频。这个视频非常火爆,如今已经有超过140万次观看。


尽管 Numberphile 一再温馨提醒观众,“不要尝试暂停视频亲自计算”它却引起了数学家Andrew Booker的强烈兴趣。


巧的是,前文解出了K=7 4对应方程的法国数学家赫斯曼也是通过这个视频“入坑”的。


Booker受此启发,设计了一种简单的算法,大大提高了搜索的效率,并且他将搜索上限提升到10的16次幂。


具体而言,他对方程做了一些简单的变换,首先:


 x3+y3+z3=33
 x3+y3=33-z3
(x+y)(x2-xy+y2)=33-z3


由于 x+y 为非零整数,方程可以被转换为:


     x2-xy+y2=(33-z3)/d
x+y=d


选定 z 和 d 的值,那么这就是一个二元二次方程组。计算机要做的就是针对不同的 z 值和 d 值,确定方程组是否有整数解。




Booker认为之前的算法“不知道它们在找什么”,它们可以在给定范围内对整数进行搜索,寻找方程 K = x³ + y³ + z³ 的解,其中K为任意整数。


也就是说,旧的算法不能针对特定的K求出方程的解,比如对于 k = 33,而他的算法可以。


也正因此,相比于那些没有目标的算法而言,它的运行速度“在实际运用中要快 20 倍”。


Booker 使用了大学里的超级计算机,他原本以为要花上六个月,但实际上只用了三个星期。计算机就从千万亿种可能性中筛选出了三个奇怪的16位整数。


经过验算,Booker 高兴得在办公室里跳了起来,毕竟,中彩票的概率和这个相比,简直是沧海一粟。


Booker 笑称,那三个解对应的数字他自己都背不下来。这样的计算显然不是人力能够完成的。


如今,在100以内的整数中,去掉不存在解的整数之外,无法表示成三个整数的立方之和的如今只有42了。


Booker 计划将搜索范围提升到10的17次幂,以寻找K=42对应的解,他已经确定在10的16次幂范围内不存在解。




   “刮彩票”的意义   

既然解丢番图方程就像买彩票,为什么还要在这上面花这么大力气呢?

Booker 和其他专家也表示,每个新发现的解并不会为寻找下一个解提供线索。而且即便“解决”了 42,数论学家仍会面临 101 至 1000 之间的 11 个尚未找出解的更“顽固”的整数。

Booker 说:“我认为这些研究目标的有趣程度,还不足以证明花费大笔钱款随意占用一台超级计算机是值得的。”

但数论学家感兴趣的,却是丢番图方程的性质。例如,目前不存在能够可靠判断任意给定的丢番图方程是否有解的数学方法,这勾起了数论学家们的好奇心。

有数学家认为,当K除以9的余数为4或5的时候,方程 k = x³ + y³ + z³无解。这个猜想已经通过了初步检验,但是目前还未得到严谨的证明。


丢番图方程的解必须为整数,并且不同K值对应的解十分随机和分散,对相差不大的K值(例如29和33),可能一个能轻松地找到一组较小的解,另一个对应的解的数字却极其庞大。


Browning 说:“这个代数结构有着丰富的内涵,隐藏着和丢番图方程毫无关系的其它数学问题,并且能够模拟计算机。”


或许,丢番图方程所蕴含的智慧,远远比我们想象的要多。


讲了这么多,超模君想说的是,费马大定理在研究之初,也是让人一头雾水,只能证明单个的数字。但是随着诞生的“金蛋”越来越多,最终被证明在域内皆成立。


既然丢番图方程的衍生问题——费马大定理在提出三百多年后终于被英国数学家怀尔斯证明,想必, k = x³ + y³ + z³ 这个问题也能在颇具魅力的数学世里取得全新的突破。



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