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正弦函数究竟有多神奇?

超级数学建模  · 公众号  · 2018-05-16 22:27

绝对超乎

你的想象

Q:

最近在学习时观察到正弦函数应用如此广泛:数学中的一大批公式、物理学上的简谐运动等等、自动控制里的频域分析等等、电气工程中的交流电等等,为什么各个领域的这么多公式定理都用到了正弦函数?


这远远超出了我们一开始接触正弦函数时——“直角三角形对边与斜边的比值”——一种三角函数的定义了吧,这是为什么呢?能否讲解一下,或者举例说明正弦函数在某个领域里的神奇应用呢?


A:

很有趣的问题。


正弦就是直角三角形某角的对边与斜边之比。我们来看下图:



左图中我们看到了一个直角三角形,并且A是锐角φ的对边,于是就有了图中的定义,即:



并由此推得:



现在我们让角度φ旋转起来,然后在右图中的坐标平面上绘制出它的高度曲线,我们就得到了正弦曲线。我们看到,正弦曲线的高度是在A和-A之间变化的。


看起来,正弦似乎只有数学上的意义。其实不然,我们来看几个应用吧:


1.流体力学



上图中我们看了一只风筝。当气流从右往左水平作用于风筝上时,由于风筝是倾斜的,它与气流方向存在一个角度,于是气流就对风筝产生了向上的作用力,也即升力。


类似的,包括飞机、赛车等等,都和这只风筝有点关系。


在这里,我们看到了角度、水平作用力和升力等诸多参数,它们之间就存在正弦(包括余弦在内)的关系。


由于风筝迎着气流的正面和背着气流的反面空气的压强不同,气流的作用力当然也不同,这属于流体分析的范畴,于是这个问题又与流体力学挂上了钩。



例如前一张图中的赛车,它尾部的压气板弯曲部分是朝下的,于是压气板会产生一个向下的作用力,而且赛车速度越快,这个压力就越大,其目的就是增加轮胎对地面的附着力。


由此可见,正弦关系在流体力学及流体作用力方面起到很重要的作用。


2.各种交变量


日常所见的交变量非常多,最典型的就是交流电。



从左图中,我们看到绕组在空间中的旋转情况,绕组感应出来的电压是空间角度的函数,当然也是时间的函数。由此可知,电压值一定与时间与频率都有关系,于是我们的主角,正弦量再次出现。


电压值与时间有关,也就是说,电压可以表征为时域特性,也即拉普拉斯变换;同时,电压也可以表征为频域特性,也即傅里叶变换。这些都属于复变函数的内容。



正因为分析电气理论用三角函数特别方便,所以专门配套了相量分析法。注意哦,这里的相量不是向量,当然也不是矢量。


3.三角函数与工程测量


这里面的应用就非常多了。


例如我们面前有一棵树,我们想知道这棵树有多高,我们可以采用下图的测量方法:




这里的h就是树的高度,α是角1,β是角2,M是两个测量点之间的距离。


事实上,工程测量是一门很大的学问。它包括普通的物体测量,例如机加工时的加工件尺寸测量,也包括海拔高度的测量,以及地形勘测、测量和绘制。测量所用的设备既可以是最常见的钢卷尺,也可以是卫星测量。它牵涉到测量精度的处理等等,真正是一门高大上的学问。

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总而言之,正弦函数的应用真是超乎想象,其应用面不甚枚举。


本文由超级数学建模编辑整理

资料来源于Patrick Zhang(知乎)

已获作者授权

https://www.zhihu.com/question/47702415/answer/107594471

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