大二生之梦

作者 | 蒋迅这个名字听起来有点吓人。那一定是一个非常难的数学题吧？其实它是约翰·伯努力早在1697年就解决了的两个积分公式：“大二生之梦”（sophomore's dream）这个名字源于“大一生之梦”（freshman's dream）。大一生之梦是一个不成立的公式，而“大二生之梦”则是成立的，不过其证明并不容易。让我们把证明的思路描述一下。因为这两个公式的证明是类似的，我们只用第二个公式来说明。第一步，我们将被积函数改为以为底的指数函数并做级数展开：第二步，将积分以级数展开：第三步，做变量替换 计算每一项积分:最后一步用到了伽玛函数的欧拉积分恒等式。将这三步和在一起，我们就得到了第二个“大二生之梦”。需要指出的是，伯努力当时还不知道有欧 ………………………………