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[原创]压缩机与鹦鹉螺:螺线的故事

混乱博物馆  · 公众号  · 2018-10-22 23:15

我们很少谈论纯粹的形式——就像螺旋这样迷人的形式。

螺旋或者叫螺线广泛出现在自然界和人类社会中,而且总是出现得那样规律。本期混乱博物馆将讨论我们最常见到的两种螺线,简单理解它们的数学本质,以及自然事物和人造物为何呈现出这样规则的形态。

这将是非常轻松的一期节目。


-文字稿-

螺旋大概是最有美感的非对称图案了,我们在流水的旋涡中看到它,在蜗牛的背壳上看到它,也在古老的陶器上看到它。但要认真了解它们,我们还得从数学描述开始。

螺旋是指带有螺线的图案,或者说,动点在环绕定点作圆周运动的同时逐渐远离定点时形成的曲线。用不同的速度环绕和远离定点,螺线也有数不清的种类,在本期节目中,我们只介绍最简单,也最常见的两种螺线:等速螺线和等角螺线。

对于等速螺线,动点以恒定的速度远离定点,并以恒定的角速度环绕定点,由此形成了一种非常均匀的螺线,那么显然的,从定点向外发射一条射线,那么它被螺线截得的最短线段都等长,或者说,螺线之间的空隙宽度恒定,可以容纳一个圆形在其中紧凑地滑动。

在那个工艺粗陋的时代,我们的先民广泛地利用这个性质,用赭石在陶器上一圈圈地描,用利器在石头上一圈一圈地刻,或者把金属条一圈圈盘起来,就能形成一条条美妙的等速螺线,这构成了从新石器时代直到青铜时代流行于每个文明中的旋纹。其中某些旋纹还一直遗留到了现代,比如佛教的万字纹、道教的太极图、日本的巴纹。

等速螺线在古典时代就受到数学家的注意,它又有一个别名叫“阿基米德螺线”,古希腊遗留至今的尺规作图三大难题中,如果破例允许使用等速螺线,那么三等分角问题就能迎刃而解:首先将画出待分割的角,然后以角的顶点O为起点,作等速螺线与一边相切,并与另一边相交于A点,接着用三段圆弧三等分线段OA,并与等速螺线交于B和C,那么OB和OC就三等分了已知角——而且证明这个解法也只需“显然”二字。

另外,在现代工业中,等速螺线这种等间距的特性也有巧妙应用:涡旋式压缩机广泛应用于汽车、空调、真空泵,它的核心部件就只是两个间距相同的等速螺线,它们在相对滚动的同时保持每半个周期相切一次,这就形成了一对沿着螺线向内逐渐缩小的太极形压缩腔,并在中心部位排放出去。这种压缩机部件更少、体积更小、效率也更高、可靠性也更好,应用越来越广。

另一种螺线是等角螺线,动点相对于定点的连线,以恒定的角度旋转离开时形成的螺线。等角螺线因此获得了一种相当特殊的性质:放大后能与自己重合,或者,等角螺线之间的形状恒定,能容下一个物体一边放大一边滑动——这对大自然中的生物来说实在太有用了,尤其是对软体动物。

它们贝壳主要由石灰构成,没有弹性,必须随着身体长大不断分泌新的外壳,很多早期软体动物因此长成了修长圆锥,不但重心不稳,而且容易折断。于是某些发育畸形的软体动物反而占了便宜:它们的贝壳卷了起来,有效节省了空间,增大了强度,而且卷得越紧越占便宜,连贝壳的材料都能节省很多——最终,这些贝壳的剖面就进化成了等角螺线:因为贝壳内的软组织一直在以固定的形状缓慢长大。

所以不难理解,为什么等角螺线又被称为生长螺线。各种螺旋生长的生物组织,往往都会形成这种图案,就连植物顶端也能形成等角螺线的包络,因为新的生长点总是更小更少。

在另一个经典的例子中,一些生物却因此遭了殃:许多夜间活动的昆虫用月光导航,因为月光相对地面可以看作平行光,只要与月光保持固定的夹角,就能直线飞行了。但是在一盏烛火面前,事情就不一样了:烛光是点光源,相当于从定点发出的无数射线,当飞蛾继续与光线保持固定夹角飞行,就会沿着一条等角螺线钻进光源,烧死了。

因此要特别注意:趋光性是指生物向着光源运动,但那些扑火的飞蛾始终与光源保持着固定的角度,而没有向着它飞,所以严格地说,飞蛾扑火并不是向光性。




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