π的计算公式

BlueHeart0621 · 简书 · · 2020-03-09 00:26

1. BBP（贝利-波尔温-普劳夫）公式

${\pi = \sum_{k=0}^\infty{1 \over 16^k}({4 \over {8k + 1}} - {2 \over {8k + 4}} - {1 \over {8k + 5}} - {1 \over {8k + 6}})}$
该公式给出了一个求 ${\pi}$ 在十六进制下小数点后第 ${n+1}$ 位数值位的算法，实现步骤如下：

对公式中的每一项进行拆分，拆成 $n$ 之前和 $n$ 之后两部分。
以公式中第一项为例： ${\sum_{k=0}^\infty{1 \over {16^k(8k + 1)}} = \sum_{k=0}^n{1 \over {16^k(8k + 1)}} + \sum_{k=n+1}^\infty{1 \over {16^k(8k + 1)}}}$ 等式两边同时乘以 ${16^n}$ ，使小数点恰好落在第 $n$ 位。 ${\sum_{k=0}^\infty{16^{n-k} \over {8k + 1}} = \sum_{k=0}^n{16^{n-k} \over {8k + 1}} + \sum_{k=n+1}^\infty{16^{n-k} \over {8k + 1}}}$ 由于我们只关心小数部分，而该式子的右边只有第一项会出现整数部分，故需要将第一项去除整数部分： ${\sum_{k=0}^n{16^{n-k} \ mod \ 8k+1 \over {8k + 1}} + \sum_{k=n+1}^\infty{16^{n-k} \over {8k + 1}}}$ 从而将小数部分的和保留了下来，记为 ${\sum_1}$ 。
对公式中的其他项采取相同的处理办法，分别记为 ${\sum_2}$ 、 ${\sum_3}$ 、 ${\sum_4}$ ，则最终求出 ${\pi}$ 在十六进制下小数点后第 ${n+1}$ 数值位的数值为： ${\lfloor^{4\sum_1 - 2\sum_2 - \sum_3 -\sum_4}\rfloor}$

【其他 BBP-Type 公式】
${\pi = 4\sum_{k=0}^\infty{(-1)^k \over 4^k(2k + 1)} - {1 \over 64}\sum_{k=0}^\infty{(-1)^k \over 1024^k}({32 \over 4k+1} + {8 \over 4k+2} + {1 \over 4k+3})}$

BBP 和 BBP-Type 公式的意义在于它们可以求 ${\pi}$ 小数点后任意位的数字，而不需要求出该位前的所有位小数。

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