全概率公式与贝叶斯公式
在
等可能概型(古典概型)
有一个抽签问题的例子:
例:
一袋中有 a 个白球,b 个蓝球,记 a+b=n。设每次摸到各球的概率相等,每次从袋中摸一球,不放回地摸 n 次。则第 k 次摸到白球的概率均为 a/n。现在用另一种方法计算第 2 次取到白球的概率.
解:
定义:
称
为
的一个划分,若
(1)
不漏
(2)
不重
定理:
设
为
的一个划分且
。则有
全概率公式
:
证明:
,
设
则:
注意:
在运用全概率公式时,关键是构造合适的划分。
定理:
设
例 1:
一小学举办家长开放日,欢迎家长参加活动.小明的母亲参加的概率为 80%.若母亲参加,则父亲参加的概率为 30%;若母亲不参加,则父亲参加的概率为 90%。
(1)求父母都参加的概率;
(2)求父亲参加的概率;
(3)在已知父亲参加的条件下,求母亲参加的概率.
解:
设
由题意可知,
(1)
(2)由全概率公式得:
(3)由 Bayes 公式得:
例 2:
有甲乙两盒,甲盒有 3 个红球 2 个白球,乙盒有 2 个红球,1 个白球。先从甲盒中采用不放回抽样取 3 球放入乙盒,再从乙盒中取一个球,求取到的是红球的概率。
解:
设
,
,
设
这里解释一下,
上面得到的三个概率是由于确认从甲盒中取出 1,2,3 个红球后,乙盒中球的变化,在根据当前乙盒中的情况,分别求出上面三个概率。
由全概率公式得:
例 3:
根据以往的临床记录某种诊断癌症的试验具有 5%的假阳性及 3%的假阴性:
若设A={试验反应是阳性},C={被诊断患有癌症},则有:
已知某一群体
,问这种方法能否用于普查?
解:由题意可得:
由 Bayes 公式得
这个结果表面,100 个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有 8.9 个,所以不宜用于普查。如果发现结果为阳性,还需要作进一步的检查。