事件独立性
例 1:
有 10 件产品,其中 8 件为正品,2 件次品。从中取 2 次,每次取 1 件。(1)采用不放回抽样,(2)采用放回抽样。
解:
设
不放回抽样时,
放回抽样时,
因此,放回抽样时,
的发生对
的发生概率不影响。
.
还可以得到
.
即
的发生对
的发生概率也不影响。
这就是
事件
与
相互独立。
定义: 设
是两随机事件,如果
, 则称
相互独立。
之所以用上述方式定义,一是因为
与
的对称性,二是不需要条件概率存在的条件,即事件的概率可以为 0。
若
,
则
等价于
也等价于
直观来看,若
与
相互独立,则不论
是否发生,都不能提供
是否发生的信息,反之也是。下面的性质也能更直观的说明:
证明:
上面的证明,仅证明当
时,
,其他的证明类似,这里省略。
定义:
设
为
个随机事件,
若对
均有:
则称
相互独立。
例 2:
有一个正四面体,现在给一面漆上
红色
,一面漆上
黄色
,一面漆上
蓝色
,还有一面漆上
红黄蓝
三色.现在任取一面。令
A = "这面含红色",B="这面含黄色",C="这面含蓝色"
。问:A,B,C 是否两两独立?是否相互独立?
解:
对这四面分别标号为 1,2,3,4.
则
两两独立
不是相互独立
例 3:
,求下列情况下,
.
解:
(1)
(2)
(3)
(4)
例4:有 5 个独立元件构成的系统(如图),设每个元件能正常运行的概率为
,求系统正常运行的概率.
解:
设
关于
小概率事件
"概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的"(称之为
实际推断原理
)。
例 5:
某技术工人长期进行某项技术操作,他经验丰富,因嫌按规定操作太过烦琐,就按照自己的方法进行,但这样做有可能发生事故.设他每次操作发生事故的概率为
,他独立重复进行了 n 次操作. 求
(1) n次都不发生事故的概率;
(2) 至少有一次发生事故的概率.
解:
设
注意到
上式的意义为:"小概率事件"在大量独立重复试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。决不能轻视小概率事件。