【系列随笔7】二次型、主轴变换、谱定理及矩阵力学

二次型、主轴变换、谱定理及矩阵力学北京航空航天大学物理学院 郝维昌1. 主轴变换的几何意义二次型在数学中为二次形式的多项式，项均为二阶（又被称为是齐次多项式），从一个最简单的二阶多项式开始，如下：这个二次型中含有交叉项，想办法进行标准化，让表达式仅含有平方项由多项式的表达式很容易找到其对称矩阵求特征值，其中I为单位矩阵，特征方程为解得到本征值为  因此标准化的对角矩阵T为更为基本的方法根据所得特征值求特征向量对两个向量进行正交归一化，这两个向量已经是正交的，进行归一化因此对应对称矩阵的正交变换为矩阵U找到对角矩阵的方法是找到对称矩阵的正交变换矩阵因此二次型多项式由对角矩阵变换为标准型通过正交变换使对称矩阵A对角化，对角线元素即为本征值，数学上被称为主轴变换，几何意义是非 ………………………………