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[原创]黄金分割的妙处

混乱博物馆  · 公众号  · 2018-10-25 21:02

黄金分割大概是最叫人津津乐道的数学典故了,这个自相似的比例有许多奇妙的价值,人们相信它在艺术、人体乃至各种生物的发育中有着重要的意义。

本期节目并不打算在数学上或者应用上做过多讨论,因为那是互联网上随处可见的轶事——我们将会分两部分,欣赏几个与黄金分割有关的艺术的例子,再从原理上弄明白它对生物有何切实的意义。

这将是轻松惬意的事情。


-文字稿-

我们之前在《琴弦上的数学危机》中讲过,公元前5世纪的毕达哥拉斯学派很有可能在研究五边形的内接五角星时发现了无法公约的数,也就是发现了无理数。而且这个无理数在今天已经非常为人熟知了,它就是黄金分割。

黄金分割最简单的表述,就是将已知线段分割成长短两段,使得原线段与长线段的长度的比值,等于长线段与短线段的长度的比值,有了今天的代数工具,这个结果实在容易计算。

但由于古希腊的数学与几何相当割裂,黄金分割不能计算,被称为“中末比”收录在《几何原本》里。而到文艺复兴,达芬奇有个好朋友,数学家卢卡·帕西奥利(Luca Pacioli,1445 -1517)修士,在整理《几何原本》的时候被带有黄金分割的几何结构深深吸引了,将它誉为“神圣比例”(De divina proportione)。

又在1496年到1498年之间以此为题写了一本册子,专门讨论黄金分割在数学和艺术上的重要性——达芬奇为这本书创作了许多版画,包括一个著名的小斜方截半立方体模型,埃舍尔还借用这种风格创作过自己的版画;

而帕西奥利本人利用圆和矩形的相切关系设计了一套优雅的衬线字体流传至今,如今纽约的大都会博物馆的标志就直接取自其中的M。

这本书的第二部分以古罗马建筑家维特鲁威的著作为例,讨论了建筑与人体的联系——达芬奇此前那幅《维特鲁威人》就是这个含义。

尽管这些严格的数学比例大多只是个巧合,人眼并不能观察无穷小量,黄金分割也只是看起来匀称而已。

但要存心以此创作,就完全是另一回事儿了——在此后500年的艺术史上产生了两个非常经典的案例:《多尼圆画》保存于佛罗伦萨的乌菲齐美术馆,是米开朗基罗仅存的完成的油画作品,连画框都是米开朗基罗亲自设计的原装,如果连接画框上耶稣、两先知和两女子的头像,就会构成一个五角星覆盖画面,以黄金分割连接圣母、圣子和圣若瑟的主要关节和衣物褶皱,背景上圣徒的与裸体也恰好就在连线附近——在所有文艺复兴黄金分割应用里,这可能是附会味道最淡的了。

如果这有些附会的味道,达利在1949年这幅《原子勒达》就确凿无疑:

画中画的是宙斯化作天鹅强奸了斯巴达的王后勒达,画中勒达的模特是达利的媳妇加拉,而天鹅是达利的自比,画中一切都在空间中悬挂,任何事物间都不相互碰触,连大海都在腾空而已,不与沙滩接触。

这幅画的构图非常奇妙,让人摸不着头脑,但达利在1947年的素描表明了一切:充满了黄金分割的五边形内接五角星。

但五角星并非黄金分割唯一的数学表述:植物身上充斥着一种美妙的分形,宝塔花菜是其中最优美的——要理解这种模式的适应优势,就把黄金分割的代数和几何表达联系在了一起。

简单地说:植物的生长点每隔一个角度就发出一个侧芽,如果这个角度太过平庸,新的芽旋转几周之后就会与老的芽对在一起,既浪费空间又争夺资源。所以两个侧芽之间的夹角最好足够刁钻,怎么转都回不到原点——而圆周角的黄金分割就是这个刁钻的角度。

任何实数都可以用这样的连分数表示出来,有理数就是有限的连分数,无理数就是无限的连分,比如圆周率,我们就会发现,才展开到第五层,就出现了292这样巨大的整数,这使得这一项以后的连分数非常小,对整体数值的影响可以忽略。圆周率会非常接近某个有理数,所以祖冲之很早就用筹算得出了22/7和355/113这样的小误差近似值。

而如开头谈到的,有理数是能公约的数,按这样的角度生长很快就会挤在一起。

那么显然了,连分数的大整数越少,越适合植物生长,比如根号2就是个不错的数,每一个分母中的整数都是2,由此产生的生长点就很均匀了——而当所有分母中的整数都是1的时候,植物就长出了最刁钻的角度,能最大限度的利用空间和资源。

而这个分数的值也非常容易计算:将它自己带入自己,原来这就是黄金分割!

更绝的是,取黄金分割的连分数的每一节化简,就会得到斐波那契数列,这也是非常容易证明的结果论,所以对于所有紧密堆积的植物顶端,从不同的方向构造螺线数一数能凑出多少,就永远恰好是斐波那契数列中的某个值,于是就连一头菠萝,一头仙人掌,一头甘蓝,都变得格外理性了。



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