主要观点总结
本文聚焦于统计学和机器学习中的稀疏和低秩矩阵优化问题，推动相关理论和应用的发展。文章探讨了基数或秩约束的优化问题，以及稀疏解和低秩解的优势。由于矩阵的秩与奇异值向量的基数有关，因此对基数和秩约束的优化通常是非凸的，属于NP-难问题。文章利用混合整数和混合投影优化技术，开发了适用于基数和秩约束问题的算法方法，所提算法优于现有的凸松弛方法和启发式方法。此外，文章还研究了稀疏加低秩矩阵分解问题、压缩感知问题以及学习部分观测矩阵以预测完全观测的辅助信息的问题，并提出了相应的算法。
关键观点总结
关键观点1: 稀疏和低秩矩阵优化的重要性
稀疏和低秩矩阵优化在统计学和机器学习中具有广泛应用，能够解决许多基础问题。稀疏解因其可解释性和存储优势而受到青睐，而低秩解则继承了稀疏解的相似特性，同时具备极高的建模灵活性。
关键观点2: 算法的优越性
文章提出的算法对于基数和秩约束问题、稀疏加低秩矩阵分解问题、压缩感知问题以及学习部分观测矩阵的问题都有出色的表现，优于现有的凸松弛方法和启发式方法。
关键观点3: 应用领域的广泛性和挑战性
文章的研究不仅在理论上有所贡献，也在实际应用中具有广泛的潜力，如统计学、机器学习、数据科学等领域。同时，由于问题的复杂性和大规模数据的处理需求，这也对算法的性能和效率提出了更高的要求。
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来源：专知 本文 约1000字 ，建议阅读 5 分钟 本论文推动了稀疏和低秩矩阵优化理论和应用的发展，聚焦于统计学和机器学习中出现的相关问题。 在运筹学、机器学习和统计学的众多基础问题中，自然形成了基数或秩约束的优化问题。稀疏解因其可解释性和存储优势而受到青睐。此外，在机器学习背景下，稀疏解不仅能提高模型的泛化能力，还具有在高维数据集中进行特征提取的自然解释。另一方面，由于矩阵的秩等同于其奇异值向量的基数，因此秩可以视为矩阵稀疏性的推广。因此，低秩解继承了稀疏解的相似特性，同时具备极高的建模灵活性。不幸的是，对基数和秩约束的优化通常是非凸的，并且在一般情况下属于NP-难问题，因此在很大程度上依赖于凸松弛和启发式方法，这些方法会产生次优解。 本论文推动了稀疏和低秩矩阵优化理论和应用
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