Erdős 问题 (3)——杨辉三角中每行不在两端的任两个数不互质

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Paul Erdős(1913-1996) 是匈牙利著名数学家，主要研究数论和组合方向，写了超过 1500 篇文章，非常高产． Erdős 提出过不少猜想，有些猜想至今都还没解决，但也有个别猜想经过很多数学工作者的不懈努力成功解决了． 在网站 https://www.erdosproblems.com/ 中收录了很多比较困难的 “Erdős problems”． Erdős 的数学思想很多都值得学习的，所以我打算做成一个系列． 今天分享 Erdős 关于二项式系数的一个问题．如果有误欢迎指出． 问题 杨辉三角的构造方法是：第一行只有一个 1，从第二行开始，两端的数为 1，且不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． 证明：在杨辉三角的每一行中，不在两端的任意两个数都不是互质的． 解答（初等证法） 在接下来的本文中，为照顾中学读者，组合数都表示为   ．（通常都表示为  ． ） 证法一 ………………………………